ফাংশন : SSC Higher Math-Chapter 1.2 (1-10) Part 1

 

ফাংশনঃ অন্বয় ও ফাংশন, অন্বয়ের ডোমেন, অন্বয়ের সদস্য, অন্বয়ের রেঞ্জ, ডোমেন, রেঞ্জ, বিপরীত অন্বয়

১. {(2,2),(4,2),(2,10),(7,7)} অন্বয়ের ডোমেন কোনটি?

ক) {2,4,5,7}     খ)  {2,2,10,7}   

গ) {2,4,10,7}    ঘ) {2,4,7}

উত্তরঃ ক

২. S={(x,y):x∈A, y∈A এবং y=x²} এবং A={-2,-1,0,1,2} নিচের কোনটি S অন্বয়ের সদস্য?

ক) (2,4)    খ) (-4,4)   গ) (-1,1)   ঘ) (1,-1)

উত্তরঃ গ

[y=x² তে x=-1 বসালে y=(-1)²=1 হবে, অর্থাৎ (x,y)=(-1,1)]

৩. যদি S={(1,4),(2,1),(3,0),(4,1),(5,4)} হয় তবে,

(i) S অন্বয়ের রেঞ্জ {4,1,0}

(ii) S অন্বয়ের বিপরীত অন্বয়, S^-1={(4,1),(1,2),(0,3),(1,4),(4,5)}

(iii) S অন্বয়টি একটি ফাংশন

উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.    খ) ii. ও iii.    গ) i. ও iii.   ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ খ

৪. যদি F(x)=√(x-1) হয় তবে F(10)=কত?

ক) 9.    খ) 3.    গ) -3.    ঘ) √10.

উত্তরঃ খ

৫. S={(x,y) : x²+y²-25=0 এবং x≥0} হলে,

(i) অন্বয়টি ফাংশন নয়।

(ii) অন্বয়টির লেখচিত্র একটি অর্ধবৃত্ত।

(iii) অন্বয়টির লেখচিত্র x অক্ষের উপর অর্ধতলে থাকবে।

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.    খ) ii. ও iii.    গ) i. ও iii.   ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ক

৬. F(x)=√(x-1)=5 হলে x এর মান কত?

ক) 5.    খ) 24.     গ) 25.     ঘ) 26.

উত্তরঃ ঘ

৭. F(x)=√(x-1) ফাংশনটির ডোমেন নিচের কোনটি?

ক) ডোম F={x∈R : x≠1}    খ) ডোম F={x∈R : x≥1}

গ) ডোম F={x∈R : x≤1}     ঘ) ডোম F={x∈R : x>1}    

উত্তরঃ খ

৮. (i) নিচে প্রদত্ত S অন্বয়গুলোর ডোমেন, রেঞ্জ ও বিপরীত অন্বয় নির্ণয় কর।

(ii) S অথবা S^-1 অন্বয়গুলো ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

(iii) ফাংশনগুলো এক-এক কিনা নির্ধারণ কর।

ক) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}

খ) S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

গ) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)} 

ঘ) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

ঙ) S={(2,1),(2,2),(2,3)}

সমাধানঃ

(ক)

(i) এখানে, S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}

ডোম S={1,2,3,4}

রেঞ্জ S={5,10,15,20}

S^-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}

(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।

আবার, S^-1 অন্বয়েরও একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S^-1 অন্বয়টিও একটি ফাংশন।

(iii) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}

S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।

∴S এক-এক ফাংশন।

আবার, S^-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}

S^-1 ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।

∴S^-1 এক-এক ফাংশন।

(খ)

(i) এখানে, S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

ডোম S={-3,-2,-1,0,1,2,3}

রেঞ্জ R={-1,0,3,8}

S^-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}

(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।

আবার, S^-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (0,-1) এবং (0,1)। সুতরাং S^-1 একটি ফাংশন নয়।

(iii)  S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

এই ফাংশনের একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। কিন্তু দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (-3,8) ও (3,8)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

∴S এক-এক ফাংশন নয়।

আবার,

S^-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}

S^-1 এ একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট (0,-1) ও (0,1) ক্রমজোড় আছে। কাজেই এটি ফাংশন নয়। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

(গ)

(i) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)} 

ডোম S={½,1,5/2 }

রেঞ্জ S={-2,-1,0,1,2}

S^-1={(0,½), (1,1), (-1,1), (2,5/2),(-2,5/2)}

(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (1,1) এবং (1,-1)।

∴ S ফাংশন নয়।

S^-1  এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই।

∴ S^-1 একটি ফাংশন।

(iii) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)} 

যেহেতু S ফাংশন নয় তাই S এক-এক ফাংশন নয়।

S^-1={(0,½), (1,1), (-1,1), (2,5/2),(-2,5/2)}

S^-1 এর ফাংশনটির একই দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমন (1,1) ও (-1,1)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

(ঘ)

(i) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

ডোম S={-3,-1,0,1,3}

রেঞ্জ S={-3,-1,0,13}

S^-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।

S^-1 এরও একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S^-1 একটি ফাংশন।

(iii) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S এক-এক ফাংশন।

S^-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

S^-1 ফাংশনের ডোমনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S^-1 এক-এক ফাংশন।

(ঙ)

(i) S={(2,1),(2,2),(2,3)}

ডোম S={2}

রেঞ্জ S={1,2,3}

S^-1={(1,2),(2,2),(3,2)}

(ii) S এর একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (2,1) ও (2,2)। সুতরাং S ফাংশন নয়।

S^-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S^-1 ফাংশন।

(iii) S ফাংশন নয় তাই এক-এক নয়।

S^-1 ফাংশনটির একই দ্বিতীয় উপদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় রয়েছে। যেমনঃ (1,2), (2,2), (3,2)।

সুতরাং ফাংশনটি S^-1 এক-এক নয়।

৯. F(x)=√(x-1) দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের জন্য

ক) F(1), F(5) এবং F(10) নির্ণয় কর।

খ) F(a²+1) নির্ণয় কর যেখানে a∈R

গ) F(x)=5 হলে, x নির্ণয় কর।

ঘ) F(x)=y হলে, x নির্ণয় কর যেখানে y≥0।

সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)

∴ F(1)=√(1-1)=√0=0

F(5)=√(5-1)=√4=2

F(10)=√(10-1)=√9=3

(খ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)

F(a²+1)= √(a²+1-1)= √a²=।a।

(গ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=5

∴ √(x-1)=5

বা, x-1=25 [বর্গ করে]

বা, x=25+1

বা, x=26

(ঘ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=y

∴ √(x-1)=y

বা, x-1=y² [বর্গ করে]

বা, x=1+y²

১০. F : R -àR, F(x)=x³ ফাংশনের জন্য

ক) ডোম F এবং রেঞ্জ F নির্ণয় কর।

খ) দেখাও যে, F এক-এক ফাংশন।

গ) F^-1 নির্ণয় কর।

ঘ) দেখাও যে, F^-1 একটি ফাংশন।

সমাধানঃ

ক) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x³

x এর যে সকল বাস্তব মানের জন্য F(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে সেগুলো F(x) এর ডোমেন হবে।

∴ ডোম F=R

আবার, x এর বাস্তব মানের জন্য y বা x³ ও বাস্তব হবে।

সুতরাং রেঞ্জ F=R.    

খ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x³

ধরি, x₁, x₂ ∈ ডোম F

∴ F(x₁)=F(x₂)

বা, x₁³=x₂³

বা, x₁=x₂

সুতরাং, F এক-এক ফাংশন (দেখানো হলো)

গ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x³

ধরি, F(x)=y

বা, x=F^-1(y)

এখন, y=x³

বা, x³=y

বা, x=y^1/3

∴ F^-1(y)=y^1/3

বা, F^-1(x)=x^1/3

ঘ) গ হতে পাই, F^-1(x)=x^1/3

এখানে, F^-1(x) এর ডোম =R এবং x এর সকল বাস্তক মানের জন্য F^-1(x)=x^1/3 এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।

∴ F^-1(x) একটি ফাংশন (দেখানো হলো)

এই অনুশীলনীর বাকী অংশ (১১-১৭) :

ফাংশন : SSC Higher Math-Chapter 1.2 (11-17) Part 2

শেয়ার করুন