সেট : SSC Higher Math-Chapter 1.1 (1-15) Part 1

 

সেটঃ উপসেট, তালিকা পদ্ধতি, ভেনচিত্র, অনন্ত সেট, সান্ত সেট, সার্বিক সেট, সেট গঠন পদ্ধতি, সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয়, সেট নির্ণয়

১. (i) কোন সেটের সদস্য সংখ্যা 2n হলে, এর উপসেটের সংখ্যা হবে 4ⁿ।

    (ii) সকল মূলদ সংখ্যার সেট Q={P/Q : p,q ∈ Z, q≠0}

    (iii) a, b ∈ R; (a,b)={x:x∈R এবং a<x<b}

উপরের উক্তিগুলোর আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) ii ও iii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

প্রত্যেক n∈N এর জন্য A_n={n,2n,3n,……} হলে (২-৪) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

২. A₁∩A₂ এর মান নিচের কোনটি?

ক) A₁    খ) A₂     গ) A₃     ঘ) A₄

উত্তরঃ খ

[A₁={1,2,3,4…..}; A₂={2,4,6,………}

∴A₁∩A₂={2,4,6,………}=A₂]

৩. নিচের কোনটি A₃∩A₆  এর মান নির্দেশ করে?

ক) A₂    খ) A₃   গ) A₄     ঘ) A₆

উত্তরঃ  ঘ

৪. A₂∩A₃ এর পরিবর্তে নিচের কোনটি লেখা যায়?

ক) A₃     খ) A₄     গ) A₅      ঘ) A₆

উত্তরঃ  ঘ

৫. দেওয়া আছে, U={x:1≤x≤20, x∈Z}, A={x;x  বিজোড় সংখ্যা} এবং B={x;x মৌলিক সংখ্যা}। নিচের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লিপিবদ্ধ করঃ

ক) A    খ) B    গ) C={x:x∈A এবং x∈B}   ঘ) D={x:x∈A অথবা x∈B}

সমাধানঃ

U={x:1≤x≤20, x∈Z}

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

(ক) A={x;x  বিজোড় সংখ্যা}

∴ A={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

(খ) B={x;x মৌলিক সংখ্যা}

∴ B={3,5,7,11,13,17,19}

(গ) C={x:x∈A এবং x∈B}

        ={x:x∈A∩B}

এখন, A∩B

          ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∩{3,5,7,11,13,17,19}

          ={3,5,7,11,13,17,19}

          ={x:x মৌলিক সংখ্যা এবং x≤20}

∴ C={3,5,7,11,13,17,19}

(ঘ) D={x:x∈A অথবা x∈B}

             ={x:x∈A∪B}

এখন, A∪B

      ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∪{3,5,7,11,13,17,19}

     ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

     ={x:x বিজোড় সংখ্যা এবং 3≤x≤20}

∴ D={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

৬. ভেনচিত্রে A ও B সেটের উপাদানগুলোর সংখ্যা দেখানো হয়েছে। যদি n(A)=n(B) হয়, তবে নির্ণয় কর

ক) x এর মান

খ) n(AUB)

গ) n(B/A)

সমাধানঃ

(ক) ভেনচিত্র থেকে পাই,

n(A)=3x+x

n(B)=x+2x+8

প্রশ্নানুসারে,

n(A)=n(B)

বা, 3x+x=x+2x+8

বা, 4x=3x+8

বা, 4x-3x=8

বা, x=8

(খ) ভেনচিত্র থেকে পাই,

n(AUB)

=3x+x+2x+8

=6x+8

=6✕8+8  [x=8]

=48+8

=56

(গ) ভেনচিত্র থেকে পাই,

n(B/A)

=(x+2x+8)-(3x+x)

=3x+8-3x-x

=8-x

=8-8  [x=8]

=0

৭. যদি U={x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা} A={x:x≥5}⊂U এবং B={x:5x<12}⊂U তবে n(A∩B) এবং n(A’∪B) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

U={x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……….}

A={x:x≥5}⊂U

={5,6,7,8,9,10,……….}

B={x:5x<12}⊂U

={1,2}  [x এর মান 1,2 হলে 5x<12 হবে]

এখন,

A’=U-A

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…….}-{5,6,7,8,9,10,…..}

={1,2,3,4}

তাহলে,

(A∩B)

={5,6,7,8,9,10,……….}∩{1,2}

= ∅

 ∴ n(A∩B)=0

আবার,

(A’∪B)

={1,2,3,4}∪{1,2} 

={1,2,3,4}

∴ n(A’∪B’)=4

৮. যদি U={x:x জোড় পূর্ণসংখ্যা} A={x:3x≥25}⊂U এবং B={x:5x<12}⊂U তবে n(A∩B) এবং n(A’∩B’) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

U={x:x জোড় পূর্ণসংখ্যা}

  ={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}

A={x:3x≥25}⊂U

  ={10,12,14,……}

B={x:5x<12}⊂U

  ={….,-4,-2,0,2}

A’=U-A

   ={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}-{10,12,14,……}

  ={…,-4,-2,0,2,4,6,8}

B’=U-B

  ={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}- {….,-4,-2,0,2}

   ={4,6,8,10,……}

এখন,

(A∩B)

={10,12,14,……}∩{….,-4,-2,0,2}

=∅

∴ n(A∩B)=0

আবার,

(A’∩B’)

={…,-4,-2,0,2,4,6,8}∩{4,6,8,10,……}

={4,6,8}

∴ n(A’∩B’)=3

৯. দেখাও যে, ক) A/A=∅    খ) A/(A/A)=A।

সমাধানঃ

(ক) ধরি, x∈A/A

তাহলে, x∈A এবং x∉A

বা, x∈(A∩A’)

বা, x∈∅

∴ A/A⊂∅

আবার, ∅⊂A/A

∴ A/A=∅ [দেখানো হলো]

(খ) ধরি, x∈A/(A/A)

তাহলে, x∈A এবং x∉A/A

বা, x∈A এবং x∉∅ [A/A=∅; ক হতে]

বা, x∈A

∴ A/(A/A) ⊂ A

আবার ধরি, x∈A

তাহলে, x∈A এবং x∉∅

বা, x∈A এবং x∉(A/A)

বা, x∈A/(A/A)

∴ A⊂ A/(A/A)

সুররাং, A/(A/A)=A [দেখানো হলো]

১০. দেখাও যে, A✕(BUC)=(A✕B)U(A✕C)।

সমাধানঃ

সংজ্ঞানুসারে,

A✕(BUC)

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ (BUC)}

={(x,y) : x ∈ A, (y ∈ B অথবা y ∈ C)}

={(x,y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}

={(x,y) : (x,y) ∈ (A✕B) অথবা (x,y) ∈ (A✕C)}

={(x,y) : (x,y) ∈ (A✕B) U (A✕c)}

=(A✕B) U (A✕C)

∴  A✕(BUC) ⊂ (A✕B)U(A✕C)

আবার,

(A✕B)U(A✕C)

={(x,y) : (x,y) ∈ A✕B অথবা (x,y) ∈ A✕C}

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা x ∈ A, y ∈ C}

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা y ∈ C}

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ (BUC)}

={(x,y) : (x,y) ∈ A✕(BUC)

= A✕(BUC)

∴ (A✕B)U(A✕C) ⊂ A✕(BUC)

সুতরাং, A✕(BUC)=(A✕B)U(A✕C) [দেখানো হলো]

১১. যদি A⊂B এবং C⊂D হয় তবে দেখাও যে, (A✕C) ⊂ (B✕D)

সমাধানঃ

ধরি, (x,y) ∈ (A✕C)

তাহলে,

x ∈ A, y ∈ C

বা, x ∈ B, y ∈ D  [A⊂B এবং C⊂D]

বা, (x,y) ∈ (B✕D)

∴  (A✕C) ⊂ (B✕D) [দেখানো হলো]

১২. দেখাও যে, A={1,2,3,…n} এবং B={1,2,2ⁿ, …, 2^n-1} সেট দুইটি সমতুল।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={1,2,3,…n} এবং B={1,2,2ⁿ, …, 2^n-1}

A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে একটি এক-এক মিল নিন্মে দেখানো হলোঃ

A:		B:
1 2 3 … n	ß-------à ß-------à ß-------à   ß-------à	1 2 22  ... 2n-1

সুতরাং সেটদ্বয় সমতুল (দেখানো হলো)।

১৩. দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের বর্গের সেট S={1,4,9,16,25,36,…..} একটি অনন্ত সেট।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,  S={1,4,9,16,25,36,…..}

                   ={1²,2²,3²,4²,5²,6²,……..n²,……}

স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,…….n…….}

এখন আমরা N ও S এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিন্মোক্তভাবে দেখাতে পারি,

N:		S:
1 2 3 4 … n …	ß-----à ß-----à ß-----à ß-----à   ß-----à	1 4 9 16 … n2 …

সুতরাং, N ও S সমতুল। যেহেতু N স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N একটি অনন্ত সেট।

সুতরাং, S সেটটি ও একটি অনন্ত সেট। (দেখানো হলো)

১৪. প্রমাণ কর যে, n(A)=p, n(B)=q এবং A∩B=∅ হলে n(A∪B)=p+q।

সমাধানঃ

আমরা জানি, যে কোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

এখানে, n(A)=p, n(B)=q এবং A∩B=∅

∴ n(A∪B)=p+q+n(∅)

বা, n(A∪B)=p+q+0

বা, n(A∪B)=p+q (প্রমাণিত)

১৫. প্রমাণ কর যে, A,B,C সান্ত সেট হলে, n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

সমাধানঃ

আমরা জানি, যে কোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

এখন, n(A∪B∪C)=n[A∪(B∪C)]

=n(A)+n(B∪C)-n[A∩(B∪C)]

=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n[A∩B)∪(A∩C)]

= n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)+n[A∩B)∩(A∩C)]

= n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)

∴ n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) (প্রমাণিত)

এই অনুশীলনীর বাকী অংশসমুহঃ

২য় অংশঃ

সেট : SSC Higher Math-Chapter 1.1 (16-23) Part 2

শেয়ার করুন