Class 7 Math -সপ্তম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-২.১ বহুরাশির অনুপাত ও ধারাবাহিক অনুপাত, সমানুপাত, সমানুপাতিক ভাগ

 

সমানুপাত ও লাভ-ক্ষতিঃ বহুরাশির অনুপাত ও ধারাবাহিক অনুপাত, সমানুপাত, সমানুপাতিক ভাগ

১. নিচের রাশিগুলো দিয়ে সমানুপাত লেখঃ

(ক) ৩ কেজি, ৫ টাকা, ৬ কেজি, ১০ টাকা।
(খ) ৯ বছর, ১০ দিন, ১৮ বছর ও ২০ দিন।
(গ) ৭ সেমি, ১৫ সেকেন্ড, ২৮ সেমি ও ১ মিনিট।
(ঘ) ১২টি খাতা, ১৫টি পেন্সিল, ২০ টাকা ও ২৫ টাকা।
(ঙ) ১২৫ জন ছাত্র, ২৫ জন শিক্ষক, ২৫০০ টাকা ও ৫০০ টাকা।

সমাধানঃ

(ক) ৩ কেজি : ৬ কেজি :: ৫ টাকা  : ১০ টাকা।
          বা, ৩ : ৬ :: ৫ : ১০
(খ) ৯ বছর : ১৮ বছর :: ১০ দিন : ২০ দিন।
          বা, ৯ : ১৮ :: ১০ : ২০
(গ) ৭ সেমি : ২৮ সেমি :: ১৫ সেকেন্ড : ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ড
          বা, ৭ : ২৮ :: ১৫ : ৬০
(ঘ) ১২টি খাতা : ১৫টি পেন্সিল :: ২০ টাকা : ২৫ টাকা
          বা, ১২ : ১৫ :: ২০ : ২৫
(ঙ) ১২৫ জন ছাত্র : ২৫ জন শিক্ষক :: ২৫০০ টাকা : ৫০০ টাকা
          বা, ১২৫ : ২৫ :: ২৫০০ : ৫০

২. নিচের ক্রমিক সমানুপাতের প্রন্তীয় রাশি দুইটি দেওয়া আছে। সমানুপাতটি তৈরি করঃ

(ক) ৬,২৪  (খ) ২৫,৮১  (গ) ১৬,৪৯
(ঘ) ৫/৭,৭/৫  (ঙ) ১.৫, ১৩.৫

সমাধানঃ

(ক)
১ম রাশি=৬ ও ৩য় রাশি=২৪
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)^২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)^২=৬✕২৪
বা, (২য় রাশি)^২=১৪৪
বা, ২য় রাশি=√১৪৪
বা, ২য় রাশি=১২
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=৬ : ১২ :: ১২ : ২৪

(খ)

১ম রাশি=২৫ ও ৩য় রাশি=৮১
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)^২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)^২=২৫✕৮১
বা, (২য় রাশি)^২=২০২৫
বা, ২য় রাশি=√২০২৫
বা, ২য় রাশি=৪৫
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=২৫ : ৪৫ :: ৪৫ : ৮১

(গ)

১ম রাশি=১৬ ও ৩য় রাশি=৪৯
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)^২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)^২=১৬✕৪৯
বা, (২য় রাশি)^২=৭৮৪
বা, ২য় রাশি=√৭৮৪
বা, ২য় রাশি=২৮
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=১৬ : ২৮ :: ২৮ : ৪৯

(ঘ)

১ম রাশি=৫/৭ ও ৩য় রাশি=৭/৫
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)^২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)^২=৫/৭✕৭/৫
বা, (২য় রাশি)^২=১
বা, ২য় রাশি=√১
বা, ২য় রাশি=১
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=৫/৭ : ১ :: ১ : ৭/৫

(ঙ)

১ম রাশি=১.৫ ও ৩য় রাশি=১৩.৫
আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
(২য় রাশি)^২=১ম রাশি✕৩য় রাশি
বা, (২য় রাশি)^২=১.৫✕১৩.৫
বা, (২য় রাশি)^২=২০.২৫
বা, ২য় রাশি=√২০.২৫
বা, ২য় রাশি=৪.৫
∴নির্ণেয় সমানুপাতটি=১.৫ : ৪.৫ :: ৪.৫ : ১৩.৫

৩. শূন্যস্থান পূরণ করঃ

(ক) ১১ : ২৫ :: ____ : ৫০

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=১১
২য় রাশি=২৫
৩য় রাশি=____
৪র্থ রাশি=৫০
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১১✕৫০=২৫✕৩য় রাশি
বা, ৫৫০=২৫✕৩য় রাশি
বা, ৩য় রাশি=৫৫০/২৫
বা, ৩য় রাশি=২২
∴১১ : ২৫ :: ২২ : ৫০

(খ) ১১ : ____ :: ৮ : ৬৪

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=৭
২য় রাশি=____
৩য় রাশি=৮
৪র্থ রাশি=৬৪
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৭✕৬৪=২য় রাশি✕৮
বা, ৪৪৮=২য় রাশি✕৮
বা, ২য় রাশি=৪৪৮/৮
বা, ২য় রাশি=৫৬
∴৭ : ৫৬ :: ৮ : ৬৪

(গ) ২.৫ : ৫.০ :: ৭ : ____

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=২.৫
২য় রাশি=৫.০
৩য় রাশি=৭
৪র্থ রাশি=____
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ২.৫✕৪র্থ রাশি=৫.০✕৭
বা, ২.৫✕৪র্থ রাশি=৩৫
বা, ৪র্থ রাশি=৩৫/২.৫
বা, ৪র্থ রাশি=১৪
∴২.৫ : ৫.০ :: ৭ : ১৪

(ঘ) ১/৩ : ১/৫ :: ____ : ৭/১০

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=১/৩
২য় রাশি=১/৫
৩য় রাশি=____
৪র্থ রাশি=৭/১০
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১/৩✕৭/১০=১/৫✕৩য় রাশি
বা, ৭/৩০=১/৫✕৩য় রাশি
বা, ৩য় রাশি=(৭/৩০)✕৫
বা, ৩য় রাশি=৭/৬
∴১/৩ : ১/৫ :: ৭/৬ : ৭/১০

(ঙ) ____ : ১২.৫ :: ৫ : ২৫

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=____
২য় রাশি=১২.৫
৩য় রাশি=৫
৪র্থ রাশি=২৫
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১ম রাশি✕২৫=১২.৫✕৫
বা, ১ম রাশি=৬২.৫/২৫
বা, ১ম রাশি=২.৫
∴২.৫ : ১২.৫ :: ৫ : ২৫

৪. নিচের রাশিগুলোর ৪র্থ সমানুপাতী নির্ণয় করঃ

(ক) ৫,৭,১০

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=৫
২য় রাশি=৭
৩য় রাশি=১০
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৫✕৪র্থ রাশি=৭✕১০
বা, ৫✕৪র্থ রাশি=৭০
বা, ৪র্থ রাশি=৭০/৫
বা, ৪র্থ রাশি=১৪
∴৪র্থ সমানুপাতী=১৪

(খ) ১৫,২৫,৩৩

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=১৫
২য় রাশি=২৫
৩য় রাশি=৩৩
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১৫✕৪র্থ রাশি=২৫✕৩৩
বা, ৪র্থ রাশি=২৫✕৩৩/১৫
বা, ৪র্থ রাশি=৫৫
∴৪র্থ সমানুপাতী=৫৫

(গ) ১৬,২৪,৩২

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=১৬
২য় রাশি=২৪
৩য় রাশি=৩২
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ১৬✕৪র্থ রাশি=২৪✕৩২
বা, ৪র্থ রাশি=২৪✕৩২/১৬
বা, ৪র্থ রাশি=৪৮
∴৪র্থ সমানুপাতী=৪৮

(ঘ)

৮,

১ ৮— ২

=

১৭ ২

,

৪

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=৮
২য় রাশি=১৭/২
৩য় রাশি=৪
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৮✕৪র্থ রাশি=(১৭/২)✕৪
বা, ৮✕৪র্থ রাশি=৩৪
বা, ৪র্থ রাশি=৩৪/৮
বা, ৪র্থ রাশি=১৭/৪
∴৪র্থ সমানুপাতী=১৭/৪

∴৪র্থ সমানুপাতী=

১৭ ৪

=

১ ৪— ৪

(ঙ) ৫,৪.৫,৭

সমাধানঃ

এখানে,
১ম রাশি=৫
২য় রাশি=৪.৫
৩য় রাশি=৭
আমরা জানি, ৪টি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
১ম রাশি✕৪র্থ রাশি=২য় রাশি✕৩য় রাশি
বা, ৫✕৪র্থ রাশি=৪.৫✕৭
বা, ৪র্থ রাশি=৩১.৫/৫
বা, ৪র্থ রাশি=৬.৩
∴৪র্থ সমানুপাতী=৬.৩

৫. ১৫ কেজি চালের দাম ৬০০ টাকা হলে, এরুপ ২৫ কেজি চালের দাম কত?

সমাধানঃ

এখানে, চালের পরিমান বাড়লে দামও বাড়বে।
অর্থাৎ, চালের পরিমানের অনুপাত=চালের দামের অনুপাত
বা, ১৫ : ২৫ =৬০০ : নির্ণেয় চালের দাম
বা, নির্ণেয় চালের দাম=(৬০০✕২৫)/১৫ টাকা=১০০০ টাকা।

৬. একটি গার্মেন্টস ফ্যাক্টরিতে দৈনিক ৫৫০টি শার্ট তৈরি হয়। ঐ ফ্যাক্টরিতে একই হারে ১ সপ্তাহে কতটি শার্ট তৈরি হয়?

সমাধানঃ

১ সপ্তাহ=৭ দিন।
এখানে, দিনের পরিমান বাড়লে উতপাদনের পরিমান বাড়ে।
অর্থাৎ,
দিনের অনুপাত=উৎপাদনের অনুপাত
বা, ১ : ৭ = ৫৫০ : নির্ণেয় তৈরির সংখ্যা
বা, নির্ণেয় তৈরির সংখ্যা=৫৫০✕৭=৩৮৫০ টি।

৭. কবির সাহেবের তিন পুত্রের বয়স যথাক্রমে ৫ বছর, ৭ বছর ও ৯ বছর। তিনি ৪২০০ টাকা তিন পুত্রকে তাদের বয়সের অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। কে কত টাকা পাবে?

সমাধানঃ

টাকার পরিমান ৪২০০ টাকা।
তিন পুত্ররের বয়সের অনুপাত=৫ : ৭ : ৯
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৫+৭+৯=২১
∴প্রথম পুত্র পাবে=৪২০০✕৫/২১ টাকা=১০০০ টাকা
২য় পুত্র পাবে=৪২০০✕৭/২১ টাকা=১৪০০ টাকা
৩য় পুত্র পাবে=৪২০০✕৯/২১ টাকা=১৮০০ টাকা।

৮. ২১৬০ টাকা রুমি, জেসমিন ও কাকলির মধ্য ১ : ২ : ৩ অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে?

সমাধানঃ

টাকার পরিমান=২১৬০ টাকা
প্রদত্ত অনুপাত=১ : ২ : ৩
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=১+২+৩=৬
∴রুমি পাবে=২১৬০✕১/৬ টাকা=৩৬০ টাকা
জেসমিন পাবে= ২১৬০✕২/৬ টাকা= ৭২০ টাকা
কাকলি পাবে=২১৬০✕৩/৬ টাকা=১০৮০ টাকা।

৯. কিছু টাকা লাবিব, সামি ও সিয়ামের মধ্য ৫ : ৪ : ২ অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো। সিয়াম ১৮০ টাকা পেলে লাবিব ও সামি কত টাকা পাবে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, সিয়াম পায়=১৮০ টাকা
লাবিব : সামি : সিয়াম = ৫ : ৪ : ২
∴লাবিব পাবে= সিয়ামের টাকার ৫/২ অংশ=১৮০✕৫/২=৪৫০ টাকা
সামি পাবে=সিয়ামের টাকার ৪/২ অংশ=১৮০✕৪/২=৩৬০ টাকা।

১০. সবুজ, ডালিম ও লিংকন তিন ভাই। তাদের পিতা ৬৩০০ টাকা তাদের মধ্য ভাগ করে দিলেন। এতে সবুজ ডালিমের ৩/৫ অংশ এবং ডালিম লিংকনের দ্বিগুন টাকা পায়। প্রত্যেকের টাকার পরিমান বের কর।

সমাধানঃ

মনে করি, লিংকন পায় ক টাকা
ডালিম পায়=২ক টাকা
∴সবুজ পায়=২ক এর ৩/৫=৬ক/৫ টাকা।
তিনজনের টাকার অনুপাত=ক : ২ক : ৬ক/৫=১ : ২ : ৬/৫ =৫ : ১০ : ৬
অনুপাতগুলোর যোগফল=৫+১০+৬=২১
∴লিঙ্কন পায়=৬৩০০✕৫/২১ টাকা=১৫০০ টাকা
ডালিম পায়=৬৩০০✕১০/২১ টাকা=৩০০০ টাকা
সবুজ পায়=৬৩০০✕৬/২১=১৮০০ টাকা।

১১. তামা। দস্তা ও রূপা মিশিয়ে এক রকম গহনা তৈরি করা হলো। ঐ গহনায় রামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রূপার অনুপাত ৩ : ৫। ১৯ গ্রাম ওজনের গহনায় কত গ্রাম রূপা আছে?

সমাধানঃ

তামা : দস্তা
=১ : ২
=৩ : ৬ [উভয়পক্ষকে ৩ দ্বারা গুণ করে]
আবার,
দস্তা : রুপা
=৩ : ৫
=৬ : ১০ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করে]
তামা : দস্তা : রুপা =৩ : ৬ : ১০
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৩+৬+১০=১৯
∴গহনায় রুপা আছে=১৯✕১০/১৯ গ্রাম=১০ গ্রাম।

১২. দুইটি সমান মাপের গ্লাস শরবতে পূর্ণ আছে। ঐ শরবতে পানি ও সিরাপের অনুপাত যথাক্রমে প্রথম গ্লাসে ৩ : ২ ও দ্বিতীয় গ্লাসে ৫ : ৪। ঐ দুইটি গ্লাসের শরবত একত্রে মিশ্রন করলে পানি ও সিরাপের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

১ম গ্লাসে পানি ও সিরাপের অনুপাত=৩ : ২
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৩+২=৫
∴১ম গ্লাসে পানি ৩/৫ অংশ ও সিরাপ ২/৫ অংশ
আবার,
২য় গ্লাসে পানি ও সিরাপের অনুপাত =৫ : ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল= ৫+৪=৯
∴২ গ্লাসে পানি ৫/৯ অংশ ও সিরাপ ৪/৯ অংশ
সুতরাং, নতুন মিশ্রনে পানি
=৩/৫+৫/৯ অংশ
=২৭/৪৫+২৫/৪৫ অংশ
=৫২/৪৫ অংশ
নতুন মিশ্রনে সিরাপ
=২/৫+৪/৯ অংশ
=১৮/৪৫+২০/৪৫ অংশ
=৩৮/৪৫ অংশ
∴নতুন মিশ্রনে পানি ও সিরাপের অনুপাত
=৫২/৪৫ : ৩৮/৪৫
=৫২ : ৩৮
= ২৬ : ১৯
∴পানি ও সিরাপের অনুপাত=২৬ : ১৯

১৩. ক : খ = ৪ : ৭, খ : গ = ১০ : ৭ হলে, ক : খ : গ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক : খ
=৪ : ৭
= ৪০ : ৭০ [উভয়পক্ষকে ১০ দ্বারা গুণ করে]
খ : গ
=১০ : ৭
৭০ : ৪৯ [উভয়পক্ষকে ৭ দ্বারা গুণ করে]
∴ক : খ : গ =৪০ : ৭০ : ৪৯

১৪. ৯৬০০ টাকা সারা, মাইমুনা ও রাইসার মধ্য ৪ : ৩ : ১ অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে?

সমাধানঃ

মোট টাকা =৯৬০০
সারা, মাইমুনা ও রাইসার প্রপ্ত টাকার অনুপাত=৪ : ৩ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৪+৩+১=৮
∴সারা পাবে=৯৬০০✕৪/৮ টাকা=৪৮০০ টাকা
মাইমুনা পাবে=৯৬০০✕৩/৮ টাকা=৩৬০০ টাকা
রাইসা পাবে=৯৬০০✕১/৮ টাকা=১২০০ টাকা।

১৫. তিনজন ছাত্রের মধ্যে ৪২০০ টাকা তাদের শ্রেণি অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো। তারা যদি যথাক্রমে ৬ষ্ঠ, ৭ম ও ৮ম শ্রেণির শিক্ষার্থী হয়, তবে কে কত টাকা পাবে।

সমাধানঃ

মোট টাকা ৪২০০
শিক্ষার্থীদের শ্রেণির অনুযায়ী অনুপাত= ৬ : ৭ : ৮
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=৬+৭+৮=২১
∴৬ষ্ঠ শ্রেণি পাবে=৪২০০✕৬/২১ টাকা=১২০০ টাকা
৭ম শ্রেণি পাবে=৪২০০✕৭/২১ টাকা=১৪০০ টাকা
৮ম শ্রেণি পাবে=৪২০০✕৮/২১ টাকা=১৬০০ টাকা।

১৬. সোলায়মান ও সালমানের আয়ের অনুপাত ৫ : ৭। সালমান ও উইসুফের আয়ের অনুপাত ৪ : ৫। সোলায়মানের আয় ১২০ টাকা হলে ইউসুফের আয় কত?

সমাধানঃ

সোলায়মানের আয় : সালমানের আয়
=৫ : ৭
=২০ : ২৮ [উভয়পক্ষকে ৪ দ্বারা গুণ করে]
সালমানের আয় : ইউসুফের আয়
=৪ : ৫
=২৮ : ৩৫ [উভয়পক্ষকে ৭ দ্বারা গুণ করে]
অতএব,
সোলায়মানের আয় : সালমানের আয় : ইউসুফের আয়=২০ : ২৮ : ৩৫
বা, সোলায়মানের আয় : ইউসুফের আয়=২০ : ৩৫
বা, সোলায়মানের আয় : ইউসুফের আয়=২০✕৬ : ৩৫✕৬
বা, সোলায়মানের আয় : ইউসুফের আয়=১২০ : ২১০ [উভয়পক্ষকে ৬ দ্বারা গুণ করে]
অতএব, ইউসুফের আয়=২১০ টাকা।

শেয়ার করুন